あべ流『場合の数・確率』徹底攻略 その弐!

□順列・組み合わせ

○はじめに
みなさん、こんにちは!今回の記事は前回に続いて『場合の数・確率』徹底攻略の記事を投稿したいと思います。前回の記事を読んでいない方はこちらから読んでみてください!
これから、実際に場合の数や確率の問題を解いていくことになりますが、問題を解く時にはイメージして計算するという事が大切です。問題を書いてでもいいので自分自身が納得できるまで考えてください!

 

○階乗
では、一番簡単な物として、「n個の異なったものの並べ方」について考えます。抽象的でわかりにくいと思うので後で具体例を用いて説明します。
まず、最初に並べられるものはn個の可能性があります。
次に並べるものは(n-1)個(最初に並べた一つを除いて考えます)、その次に並べるものは(n-2)個…とだんだんと選べるものの個数の可能性が減っていき、最後に1個しか残らなくなることに注目すると、この「n個の異なったものの並べ方」の場合の数は
n×(n-1)×(n-2)×……3×2×1
となる事がわかりますか?数学ではこのかけ算を『n!』と表記しn(n-1)(n-2)……3・2・1を意味するとします。このときの場合の数は『nの階乗(かいじょう)』と呼びます!
具体的に例を出すと6!は6・5・4・3・2・1=720となります。


【具体的な問題①】
1から5までの数字が書かれた5枚のカードが置いてあります。このカードを並べ換えたとき、以下の問いに答えよ。
(1)カードの並べ方の数
(2)偶数が得られるカードの並べ方の数
(3)奇数が出るカードの並べ方


【解答①】
(1)カードの数が5枚でそれぞれ区別する事ができることから、カードの並べ方の総数は
5!=120
となり、120通りである。上で説明した事が理解できれば解けたと思います。

(2) 偶数であるための条件は「一の位が偶数である」という事です。偶数は2と4だけで、その他の桁は自由に選んでよいという事から、カードの並べ方は
2×4!=48
となり、48通りである。(最初に一の位から数えていくと感じです!このイメージを意識してください)

(3)奇数であるための条件は「一の位が奇数である」という事です。奇数は1と3と5だけで、その他の桁は自由に選んでよいと言う事から、カードの並べ方は
3×4!=72
となり、72通りである。

※別解
ここで、5枚のカードを並べ換えて得られる数は偶数か奇数のどちらかであるから(1)-(2)=(3)となることを用いても(3)は解く事ができます。


○最後に
今回は順列・組み合わせを解く上で一番初歩的な「階乗」ついて学びました。これからはより理解しにくい分野に入っていくと思いますが、こつこつ理解して一緒に頑張っていきましょう!

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数学A

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