本当に数学が苦手な受験生へ、はじめからの方程式の勉強法 ~因数分解、不等式、指数法則編~

今回は大学受験で数学を使うことを視野において、方程式とは何なのかどうすれば方程式を解くことができるのか。という悩みを解決していきます。はじめからの勉強法、ということで、中学数学も含めた本当に数学が苦手な人向けの方程式の勉強法に関する記事になっています。

今回は展開の反対、因数分解をやっていきましょう。

前回の記事はこちらです!

本当に数学が苦手な受験生へ、はじめからの方程式の勉強法 ~基礎の基礎編~

因数分解とは?

因数分解は多項式を因数の積に戻すという(難しいこと言ってるようですが、要は展開の逆の作業)ことです。
x2+5x+6これを(x+2)(x+3)このようにする作業のことです。

今までずっと展開をしてきたのに、今更なぜ元に戻す作業を行うのかと言いますと、後々出てくる2次関数の分野で必要になってきます。

では、実際にやってみましょう!

中学校の時には、

①           a2+2ab+b2=(a+b)2

②           a2-2ab+b2=(a-b)2

③           a2-b2=(a+b)(a-b)

この3つの公式は学んだはずです。(忘れてしまっていた人はこの機会に思い出しましょう!)
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)この式に関しては公式というよりも、パターンとして考えておけるくらい計算の練習を重ねておきましょう!

さて、高校の数学で大事になってくる因数分解の公式というのは、


①           a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3

②           a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3

③           a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

④           a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)


この4つになります。前回の第2章の記事でやった3次の展開の逆です。

展開のときの逆の操作ということは、これらの公式に関しては展開の時に覚えてしまっているのなら、また覚えなおさなくても活用することができます。むしろその方がいいです!

因数分解というのは展開の時よりも慣れるのに時間がかかります。慣れる方法に近道はなく、やはり地道に頑張っていくしかありません。たくさん問題を解けばそれだけできるようになってくるはずです。それでは問題を解いてみましょう!

①           x3+64

②           27x3-8y3

③           8x3-36x2+54x-27

 

 

 

 

 

①           x3+64=(x+4)(x2-4x+16)

 

②           27x3-8y3=(3x-2y)(9x2+6xy+4y2)

 

③           8x3-36x2+54x-27=(2x-3)3

不等式の勉強法と考え方

今回は不等式の話をしていこうと思います。
不等式とは数字や文字の大小を表すものです。
主に以下の4つの記号を用います。

> < ≧ ≦

意味としては、
A>B
このようにあった場合には、AはBより大きいという意味になります。
気を付けなければならないのは、>と≧は違うということです。

①. A>B      AはBより大きい
②. A≧B      AはB以上

このような違いがあります。
例えば、Aが7であるときに①の場合にはBには7は当てはまらないのですが、②の場合にはBに7は含まれます。”より大きい”と”以上”という言葉の違いに気を付けてください。

③. A<B      AはBより小さい
④. A≦B      AはB以下

この場合にも同じですが、Aが5であったとすると、③のときにBが5になることはないですが、④の場合にはBに5が含まれます。この場合にも”より小さい”と”以下”というように言葉の意味合いが違っています。

また、性質として、

ⅰ. A>B , B>C ならば、 A>C

ⅱ. A>B ならば、 A+C>B+C
共通の項を足したり引いたりしても不等号の向きは変わらない

ⅲ. A>B , C>0 ならば、 AC>BC , A / C>B / C
正の数を両辺にかけたり、正の数で割ったりしても不等号の向きは変わらない

ⅳ. A>B , C<0 ならば、 AC<BC , A / C<B / C
負の数を両辺にかけたり、負の数で割ると不等号の向きが変わる

上の3つのパターンに関しては素直に納得できると思うのですが、問題は負の数をかけたり、負の数で割ったりすると不等号の向きが変わるところだと思います。これは数直線で考えてみると納得しやすいと思います。

数直線で不等式を理解する

今回は例として、4と6で比較してみます。4と6のどちらが大きいか不等号で表せと言われたらもちろん4<6ですよね?

では、4と6にそれぞれ‐1をかけてから大きさを比較してみましょう。すると、

どうでしょうか?6の位置にあった赤い丸と4の位置にあった青い丸の位置を比べてみてください。数直線は右にあれば大きいことを表します。赤い丸と青い丸の大小が逆転してしまっています。今回、-1をかけていますが、負の数であれば何をかけても位置が逆転します。これが負の数をかけたり、負の数で割ったりしたときに不等号の向きが変わる理由です。

普通の方程式などと違って少し分かりにくいかもしれませんが、数直線のような図で理解してしまえば割とつかみやすいのではないかと思います。
またあとの記事にはなってしまいますが、今度は不等式の計算というのもやっていこうと思います!今回やったことが基礎になりますので忘れずに!

指数法則の基礎


これまでは、方程式の展開や因数分解についてお話ししましたが、今回は展開や因数分解からは少し離れて、“指数法則”というものをやっていきたいと思います!
指数とは、

a2

の2の部分を指数と言います。もちろん2だけでなく、3や10、xyが使われることもあります。aの部分は底といいます。

それでは、この指数とはどのような意味をもつのか説明していきたいと思います!

たとえば上のa2とは、

a2=(a×a)

のことを表します。

23では、

23=(2×2×2)

のことを表します。勘のいい人は気付いたかもしれませんが、指数のついている文字(数字)を指数の数だけかけることを意味しています。

また、a , a2, a3・・・ anのことをaの累乗といいます。ここまでで、指数に関してはわかってきたと思います。今度は指数の計算をしてみましょう。指数の計算にはいくつかの公式があります。

a0=1
これ、意外と抜けやすいです。答えは0でなく1です!

a-b=1 / ab
指数が負の場合は逆数となります。

(ab)n=an×bn

(an)m=anm

(a / b)n=a/ bn

あとは、指数同士のかけ算、わり算です。

a3×a2

この計算です。先ほども言いましたが、底であるaを3回かけたものと底であるaを2回かけたもののかけ算です。ということは、

(a×a×a)×(a×a)

という風に表すこともできますね!計算をすると、aを5回かけているので、

a3×a2=(a×a×a)×(a×a)=a5

となりますね!そしてこの指数同士のかけ算には、

ax×ay=ax+y

という法則があります。また、割り算では、

a4÷a3

これを先ほどと同じように表し方を変えると、

(a×a×a×a)÷(a×a×a)=a

となります。この指数同士の割り算にも

ax÷ay=ax-y

というような法則があります。ちなみに足し算や引き算にはこのような法則は存在しません。

上の公式に関しては覚えるというよりも、数字をあてはめたりして自分で導けるようにしておきましょう。後々の他の分野でもこの法則は用いていくことになります。

指数の計算のような計算を繰り返し身に付けるために計算練習をしていくのはたしかに飽きやすいかもしれませんが、このような基本的な計算をマスターしておくと後々必ず役に立ちます!頑張っていきましょう!

前編である~基礎の基礎編~と後編である~因数分解、不等式、指数法則編~で大学受験に出題される数学の方程式の基本的な考え方をご説明してきました。ここからは市販の練習問題などを解いて、基礎を定着させてくださいね!

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