【Eureka#13】「にっしっし。部分点を稼いでしまおうかな?」→京大様の天罰が下りました笑

第3週Eureka記事
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みなさん、こんにちは!イクスタ理系編集部です!
さて、今回の数学のEurekaで扱う問題はタイトルからもわかるように
「京都大学」からの出題です。今まで扱った中で一押しの楽しい問題ですので息抜きにやってみてください。

問題

解答解説
今回、この問題を選んだのは特徴的な問題文だったからです。
「あなたの好きな自然数を決めて自身の得点にせよ」
なんて問題文にあったら、ちょっとにやけてしまいますよね(笑)そのような軽い気持ちで挑んでしまうと、この問題は難しく思えるかもしれません。さすが京都大学という問題の印象なので、一度は解いてみてください。下に解説を書いておきます。


ここで適当な数字を代入して部分点を稼ごうとすると大変な目になります。1,2,3,4,5と代入すると、見事に余りは0になります。(具体的に入れてみてください)今回の答えの例としては6を代入すれば18点をもらうことができます。
また(1)の証明により、8乗以降の余りは1~6乗の代入の数字と同じなので考えなくて大丈夫です。
結局、
「6の倍数を代入したときのみ18点もらえ、それ以外の値を代入した場合は全て0点になる」ため、原理的に満点か0点しかありえないのです。

最後に
みなさんは解くことができたでしょうか?私が一番最初に解いた時は「部分点を簡単に取れるじゃん!」と浮かれてしまったのですが、このような結果になってしまってから「さすが京都大学。考えてるな」とついつい笑ってしまうほど面白い一題であったと思います。
このように入試問題は深く考えれば考えるほど面白い問題はあります。一問一問味わってみてください。

 

 

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