【数学】分野別シリーズ⑩複素数と方程式-複素数を理解しよう!解き方をマスターできたら共通テスト7割を目指せる!

こんにちは!MARCH過去問数学で何度も満点を取った、Nodokaです!今回は文系数学が得意な私が、複素数と方程式について紹介していきます。

新課程になり、文系でも複素数平面がほぼ必須になりましたね。この記事では、複素数の基本である数2の複素数と方程式の公式から共通テストの問題を紹介していきます。数学②の共テが1択になったことで、もしかしたら共テに複素数と方程式が出題されるかもしれません…そうでなくても、複素数平面の導入として複素数の復習は必要です。この記事を最後まで読んで、複素数を完璧にしましょう!

複素数と方程式の基本的なところを紹介しているので、記事の前半は数学が苦手な人に読んでもらいたいです。記事の後半では共テの過去問を使って説明しているので、基本がバッチリな人はそこから読んでみてください!


目次

◯複素数って何か説明できますか?

・実数と虚数

・共役な複素数

◯2次方程式の解の考え方が大切!

・実数解と虚数解

◯高次方程式をマスターしよう

◯共テ過去問を使って解き方を学ぼう!



複素数って何か説明できますか?

複素数の前にまずは、虚数について説明していきます。これまでに学習したなかで、数をいくつかに分類できるようになったと思います。整数、自然数、実数、有理数、無理数と学習してきたと思いますが、みなさんそれぞれの数をイメージできますか?ここで一度、それぞれの数がどんな数なのか確認してみてください!

ここでも間違いやすい人が多いので、しっかり確認しておいてください!

ここで新たに出てくるのが、「虚数」というものです。

虚数とは、簡単にいうと、−1の平方根、つまり2乗すると−1になる数のことです。

そして、ここからさらに広がったものが「複素数」となります。複素数とは実数と虚数を組み合わせた数になります。

例えば、複素数3+5iは、実部が3、虚部5がとなります。

また、虚部が0の複素数、3+0iは、実数3と同値です。

そして、実部が0の複素数、0+5iは、虚数5iと同値になります。

このような虚数や複素数が加わったことで、数の範囲が変わりました。

つまり、すべての数が複素数であるといえます。


ここからは虚数、iについて説明していきます。計算する上でiはxやyといった文字と同じように計算できます。しかし、iの2乗は−1に変えなければいけません。ここが他の文字と異なる部分なので、注意してください。

また、複素数には虚部の符号が逆になる、共役(きょうやく)な複素数というものがあります。

ここまでで、複素数は理解できましたか?ここで少し練習問題を出すので解いてみてください!

問題は解けましたか?それでは、下の回答で確認してみてください!



2次方程式の解の考え方が大切!

2次方程式の解は実数かそうでないかで区別してきたと思います。複素数という数が出てきたことで、2次方程式の解も実数と虚数に分かれます。今まで実数の解なしとされてきたものが、虚数解となるわけです。ここで2次方程式の解と判別式の関係をまとめてみます。

そこまで難しく考える必要はありません。実数ではない数が虚数になるということです。一度練習問題を解いてみましょう。

問題は解けましたか?それでは、下の回答で確認してみてください!

今までできていたものに名前ついたようなものなので、解きやすいと思います。言葉と式が連動するように覚えておきましょう。



高次方程式をマスターしよう

ここからは、高次の方程式の解き方を紹介していきます。高次とはいっても3次式がほとんどです。ここから次数が増えていっても基本的に解法は同じなので、3次式の解き方をマスターしておきましょう。

3次方程式の解き方のステップは3つです!流れをイメージしてみてください。

流れは理解できましたか?2次式まで因数分解できれば、答えを導くことはできます。あとは練習あるのみです。

問題は解けましたか?それでは、下の回答で確認してみてください!

試験の時には、計算のスピードが大事になってきます。符号や簡単な計算のミスがないように気をつけましょう。



共テ過去問を使って解き方を学ぼう!

今回は共通テスト2021の問題を使って、どんな考え方が必要なのか紹介していきます!ミスが起きやすい部分なども説明しているので、ぜひ細かいところまで見てみてください!

共通テスト2021

わからない部分があった人は、前半の基本に戻ってみてください!



ここまで複素数と方程式について紹介してきました。数Cの単元である、複素数平面につながる部分もあると思います。しっかり復習をして、曖昧な部分が残らないようにしましょう!



この記事を書いたNodokaが教える、「Nodokaの数学ルーム」!オンラインで数学を教えるプログラムになります。マンツーマンで対応するので、自分のペースでしっかり進めることができます。



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